6070. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x>0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Uzimamo $u=\sin(\ln x) ,$ $dv=dx .$ Izvod složene funkcije je $(\sin(\ln x))'=\cos(\ln x)\cdot\frac1x ,$ a $v=x :$

I_2=x\sin(\ln x)-\int x\cdot\cos(\ln x)\cdot\frac1x\,dx=x\sin(\ln x)-\int\cos(\ln x)\,dx

Preostali integral je $I_3=\int\cos(\ln x)\,dx .$ Isto, sa $u=\cos(\ln x) ,$ $du=-\sin(\ln x)\frac{dx}x ,$ $v=x :$

I_3=x\cos(\ln x)+\int\sin(\ln x)\,dx=x\cos(\ln x)+I_2

Uvrštavamo u prvu jednakost i rešavamo po $I_2 :$

I_2=x\sin(\ln x)-x\cos(\ln x)-I_2\implies I_2=\frac x2\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)+C

Provera:

\frac12\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)+\frac x2\left(\frac{\cos(\ln x)}x+\frac{\sin(\ln x)}x\right)=\sin(\ln x)

Konačno, $I_2=\frac x2\left(\sin(\ln x)-\cos(\ln x)\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

337.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci