6072. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x>0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Sa $u=\cos(\ln x) ,$ $dv=dx$ imamo $du=-\sin(\ln x)\cdot\frac{dx}x ,$ $v=x :$

I_3=x\cos(\ln x)+\int\sin(\ln x)\,dx

Integral $\int\sin(\ln x)\,dx$ parcijalnom integracijom ( $u=\sin(\ln x) ,$ $dv=dx$ ) postaje:

\int\sin(\ln x)\,dx=x\sin(\ln x)-\int\cos(\ln x)\,dx=x\sin(\ln x)-I_3

Dobijamo jednačinu po $I_3 :$

I_3=x\cos(\ln x)+x\sin(\ln x)-I_3\implies I_3=\frac x2\left(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)+C

Provera:

\frac12\left(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)+\frac x2\left(\frac{\cos(\ln x)}x-\frac{\sin(\ln x)}x\right)=\cos(\ln x)

Rešenje zadatka je $I_3=\frac x2\left(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

337.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci