6056. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Polinom uzimamo za $u$ ; parcijalnu integraciju ćemo primeniti dva puta, jer je polinom drugog stepena. Prvi put:

u=x^2+5x+6,\quad dv=\cos2x\,dx\qquad\implies\qquad du=(2x+5)\,dx,\quad v=\frac12\sin2x

Uvrštavamo:

\int(x^2+5x+6)\cos2x\,dx=\frac12(x^2+5x+6)\sin2x-\frac12\int(2x+5)\sin2x\,dx

Drugi put, za $\int(2x+5)\sin2x\,dx ,$ uzimamo $u=2x+5 ,$ $dv=\sin2x\,dx ,$ pa je $du=2\,dx ,$ $v=-\frac12\cos2x :$

\int(2x+5)\sin2x\,dx=-\frac12(2x+5)\cos2x+\int\cos2x\,dx=-\frac12(2x+5)\cos2x+\frac12\sin2x

Vraćamo u prvi izraz i sabiramo članove uz $\sin2x :$ $\frac12(x^2+5x+6)-\frac14=\frac{2x^2+10x+11}{4} :$

\int(x^2+5x+6)\cos2x\,dx=\frac{2x^2+10x+11}{4}\sin2x+\frac{2x+5}{4}\cos2x+C

Provera:

\frac{4x+10}{4}\sin2x+\frac{2x^2+10x+11}{2}\cos2x+\frac24\cos2x-\frac{2x+5}{2}\sin2x=(x^2+5x+6)\cos2x

Rešenje zadatka je $\int(x^2+5x+6)\cos2x\,dx=\frac{2x^2+10x+11}{4}\sin2x+\frac{2x+5}{4}\cos2x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.nj

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci