6053. Metoda parcijalne integracije

Prvo pojednostavljujemo podintegralnu funkciju formulom $\sin2x=2\sin x\cos x ,$ tj. $\sin x\cos x=\frac12\sin2x :$

\int x\sin x\cos x\,dx=\frac12\int x\sin2x\,dx

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Integral $\int x\sin2x\,dx$ rešen je u zadatku 334.a ( $u=x ,$ $dv=\sin2x\,dx$ ): $\int x\sin2x\,dx=-\frac x2\cos2x+\frac14\sin2x+C .$ Množimo sa $\frac12 :$

\int x\sin x\cos x\,dx=-\frac{x\cos2x}{4}+\frac{\sin2x}{8}+C

Provera:

\left(-\frac{x\cos2x}4+\frac{\sin2x}8\right)'=-\frac{\cos2x}4+\frac{x\sin2x}{2}+\frac{\cos2x}4=\frac x2\sin2x=x\sin x\cos x

Traženi integral je $\int x\sin x\cos x\,dx=-\frac{x\cos2x}{4}+\frac{\sin2x}{8}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.lj

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci