6043. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Proizvod polinoma i sinusa rešavamo tako što za $u$ uzmemo polinom, jer se diferenciranjem pojednostavljuje ( $x$ postaje $1$ ). Biramo:

u=x,\quad dv=\sin2x\,dx\qquad\implies\qquad du=dx,\quad v=\int\sin2x\,dx=-\frac12\cos2x

Funkciju $v$ smo dobili smenom $s=2x ,$ $dx=\frac{ds}2 :$ $\int\sin2x\,dx=\frac12\int\sin s\,ds=-\frac12\cos2x$ (konstanta se kod $v$ ne piše, jer je dovoljna jedna primitivna funkcija). Uvrštavamo u formulu:

\int x\sin2x\,dx=x\cdot\left(-\frac12\cos2x\right)-\int\left(-\frac12\cos2x\right)dx=-\frac x2\cos2x+\frac12\int\cos2x\,dx

Preostali integral je $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x$ (istom smenom):

\int x\sin2x\,dx=-\frac x2\cos2x+\frac14\sin2x+C

Provera, pravilom za izvod proizvoda:

\left(-\frac x2\cos2x+\frac14\sin2x\right)'=-\frac12\cos2x+\frac x2\cdot2\sin2x+\frac14\cdot2\cos2x=x\sin2x

Dakle, $\int x\sin2x\,dx=-\frac{x\cos2x}{2}+\frac14\sin2x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci