6015. Metoda smene promenljive

Uslov je $\cos x\neq0 .$ Kosinus pretvaramo u sinus pomoću $\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right) .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=x+\frac\pi2 ,$ $du=dx :$

\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{dx}{\sin\left(x+\frac\pi2\right)}=\int\frac{du}{\sin u}

Integral $\int\frac{du}{\sin u}$ rešen je u zadatku 330.k: zapisom $\sin u=2\operatorname{tg}\frac u2\cos^2\frac u2$ brojilac postaje izvod imenioca $\operatorname{tg}\frac u2 ,$ pa je

\int\frac{du}{\sin u}=\ln\left|\operatorname{tg}\frac u2\right|+C

Vraćamo $u=x+\frac\pi2 ,$ pa je $\frac u2=\frac x2+\frac\pi4 :$

\int\frac{dx}{\cos x}=\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right|+C

Brojna provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac1{\cos0}=1 ,$ a izvod rezultata je $\frac{\frac12}{\cos^2\frac\pi4\operatorname{tg}\frac\pi4}=\frac{\frac12}{\frac12\cdot1}=1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{\cos x}=\ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac x2+\frac\pi4\right)\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

330.l

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci