6085. Metoda parcijalne integracije

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $s=\sin x ,$ $ds=\cos x\,dx ,$ čime dobijamo racionalnu funkciju:

\int\frac{\cos x\,dx}{\sin^2x-6\sin x+12}=\int\frac{ds}{s^2-6s+12}

Dopunjavamo do potpunog kvadrata: $s^2-6s+12=(s-3)^2+3 .$ Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=\sqrt3$ (i smena $w=s-3$ ):

\int\frac{ds}{(s-3)^2+3}=\frac1{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{s-3}{\sqrt3}+C

Vraćamo $s=\sin x :$

\int\frac{\cos x\,dx}{\sin^2x-6\sin x+12}=\frac1{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{\sin x-3}{\sqrt3}+C

Provera:

\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\frac{\cos x}{\sqrt3}}{1+\frac{(\sin x-3)^2}3}=\frac{\cos x}{3+(\sin x-3)^2}=\frac{\cos x}{\sin^2x-6\sin x+12}

Traženi integral je $\int\frac{\cos x\,dx}{\sin^2x-6\sin x+12}=\frac1{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{\sin x-3}{\sqrt3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

340.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci