6086. Metoda parcijalne integracije

Diskriminanta je $1-12<0 .$ Izvlačimo $3$ i dopunjavamo, uz $\left(x-\frac16\right)^2=x^2-\frac x3+\frac1{36} :$

3x^2-x+1=3\left(\left(x-\frac16\right)^2+\frac13-\frac1{36}\right)=3\left(\left(x-\frac16\right)^2+\frac{11}{36}\right)

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Sa $s=x-\frac16 .$ Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=\frac{\sqrt{11}}6 :$

\int\frac{dx}{3x^2-x+1}=\frac13\int\frac{ds}{s^2+\frac{11}{36}}=\frac13\cdot\frac6{\sqrt{11}}\operatorname{arctg}\frac{6s}{\sqrt{11}}+C=\frac{2}{\sqrt{11}}\operatorname{arctg}\frac{6x-1}{\sqrt{11}}+C

Provera:

\frac2{\sqrt{11}}\cdot\frac{\frac6{\sqrt{11}}}{1+\frac{(6x-1)^2}{11}}=\frac{12}{11+36x^2-12x+1}=\frac{12}{36x^2-12x+12}=\frac1{3x^2-x+1}

Dakle, $\int\frac{dx}{3x^2-x+1}=\frac{2}{\sqrt{11}}\operatorname{arctg}\frac{6x-1}{\sqrt{11}}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

340.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci