5981. Metoda smene promenljive

Imenilac svodimo na potpun kvadrat. Koristimo $(x-2)^2=x^2-4x+4 ,$ pa $5$ rastavljamo na $4+1 :$

x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=x-2$ ; tada je $dt=dx :$

\int\frac{dx}{x^2-4x+5}=\int\frac{dx}{(x-2)^2+1}=\int\frac{dt}{t^2+1}

Po tabličnoj formuli $\int\frac{dt}{1+t^2}=\operatorname{arctg}t+C :$

\int\frac{dx}{x^2-4x+5}=\operatorname{arctg}(x-2)+C

Provera:

\left(\operatorname{arctg}(x-2)\right)'=\frac{1}{1+(x-2)^2}=\frac1{x^2-4x+5}

Prema tome, $\int\frac{dx}{x^2-4x+5}=\operatorname{arctg}(x-2)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

326.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci