6087. Metoda parcijalne integracije

Činilac $x^2$ se javlja dvaput, pa u zbiru moraju biti i razlomak sa $x$ i razlomak sa $x^2 .$ Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca.

\frac{1}{x^2(x-1)}=\frac Ax+\frac B{x^2}+\frac{C}{x-1}\implies1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2

Za $x=0 :$ $1=-B$ ; za $x=1 :$ $1=C .$ Koeficijent uz $x^2$ na desnoj strani je $A+C ,$ a na levoj $0 ,$ pa je $A=-1 :$

A=-1,\qquad B=-1,\qquad C=1

Integralimo; $\int\frac{dx}{x^2}=\int x^{-2}\,dx=-\frac1x :$

\int\frac{dx}{x^2(x-1)}=-\ln|x|+\frac1x+\ln|x-1|+C=\ln\left|\frac{x-1}{x}\right|+\frac1x+C

Provera za $x=2 :$ podintegralna funkcija je $\frac1{4} ,$ a izvod rezultata $-\frac1x-\frac1{x^2}+\frac1{x-1}$ daje $-\frac12-\frac14+1=\frac14 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{x^2(x-1)}=\ln\left|\frac{x-1}{x}\right|+\frac1x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci