6094. Metoda parcijalne integracije

Imenilac je $x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2 .$ Činilac $(x-1)$ se javlja dvaput. Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca.

\frac1{x(x-1)^2}=\frac Ax+\frac B{x-1}+\frac C{(x-1)^2}\implies1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx

Za $x=0 :$ $A=1$ ; za $x=1 :$ $C=1$ ; uz $x^2 :$ $A+B=0 :$

A=1,\qquad B=-1,\qquad C=1

Integralimo; $\int\frac{dx}{(x-1)^2}=-\frac1{x-1} :$

\int\frac{dx}{x^3-2x^2+x}=\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac1{x-1}+C

Provera za $x=2 :$ podintegralna funkcija je $\frac{1}{2} ,$ a izvod rezultata $\frac1x-\frac1{x-1}+\frac1{(x-1)^2}$ daje $\frac12-1+1=\frac12 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Prema tome, $\int\frac{dx}{x^3-2x^2+x}=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci