6095. Metoda parcijalne integracije

Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca. Činilac $x+1$ se javlja dvaput:

\frac{x}{(x-1)(x+1)^2}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}+\frac C{(x+1)^2}\implies x=A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)

Za $x=1 :$ $1=4A$ ; za $x=-1 :$ $-1=-2C$ ; uz $x^2 :$ $A+B=0 :$

A=\frac14,\qquad B=-\frac14,\qquad C=\frac12

Integralimo; $\int\frac{dx}{(x+1)^2}=-\frac{1}{x+1} :$

\int\frac{x\,dx}{(x-1)(x+1)^2}=\frac14\ln|x-1|-\frac14\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $0 ,$ a izvod rezultata $\frac1{4(x-1)}-\frac1{4(x+1)}+\frac{1}{2(x+1)^2}$ daje $-\frac14-\frac14+\frac12=0 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dakle, $\int\frac{x\,dx}{(x-1)(x+1)^2}=\frac14\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{1}{2(x+1)}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci