6002. Metoda smene promenljive

Funkcija je definisana kada je $\cos x>0 .$ Jedan činilac $\sin x$ odvajamo, a $\sin^2x$ izražavamo preko kosinusa ( $\sin^2x+\cos^2x=1$ ):

\sin^3x=\sin^2x\cdot\sin x=(1-\cos^2x)\sin x

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=\cos x$ ; tada je $dt=-\sin x\,dx ,$ pa je $\sin x\,dx=-dt :$

\int\frac{(1-\cos^2x)\sin x\,dx}{\sqrt{\cos x}}=-\int\frac{1-t^2}{\sqrt t}\,dt=\int\left(t^{\frac32}-t^{-\frac12}\right)dt

Po formuli $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C :$

\int\left(t^{\frac32}-t^{-\frac12}\right)dt=\frac25t^{\frac52}-2t^{\frac12}+C=\frac25\sqrt t\,(t^2-5)+C

Vraćamo $t=\cos x :$

\int\frac{\sin^3x\,dx}{\sqrt{\cos x}}=\frac25(\cos^2x-5)\sqrt{\cos x}+C

Provera: $\left(\frac25\cos^{\frac52}x-2\cos^{\frac12}x\right)'=\frac25\cdot\frac52\cos^{\frac32}x(-\sin x)-2\cdot\frac12\cos^{-\frac12}x(-\sin x) ,$ odnosno

=\frac{\sin x\,(1-\cos^2x)}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin^3x}{\sqrt{\cos x}}

Traženi integral je $\int\frac{\sin^3x\,dx}{\sqrt{\cos x}}=\frac25(\cos^2x-5)\sqrt{\cos x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci