6003. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=e^x+1 .$ Tada je $dt=e^x\,dx ,$ a $e^x=t-1 .$ Brojilac rastavljamo kao $e^{2x}\,dx=e^x\cdot e^x\,dx :$

t=e^x+1,\qquad e^{2x}\,dx=e^x\cdot e^x\,dx=(t-1)\,dt

Razlomak delimo član po član: $\frac{t-1}{\sqrt t}=t^{\frac12}-t^{-\frac12} :$

\int\frac{e^{2x}\,dx}{\sqrt{e^x+1}}=\int\frac{t-1}{\sqrt t}\,dt=\int\left(t^{\frac12}-t^{-\frac12}\right)dt

Primenjujemo $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=\frac12$ i $a=-\frac12 :$

\int\left(t^{\frac12}-t^{-\frac12}\right)dt=\frac23t^{\frac32}-2t^{\frac12}+C=\frac23\sqrt t\,(t-3)+C

Vraćamo $t=e^x+1 ,$ pa je $t-3=e^x-2 :$

\int\frac{e^{2x}\,dx}{\sqrt{e^x+1}}=\frac23(e^x-2)\sqrt{e^x+1}+C

Provera (pravilo za izvod proizvoda, uz $(\sqrt{e^x+1})'=\frac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$ ):

\frac23\left(e^x\sqrt{e^x+1}+\frac{(e^x-2)e^x}{2\sqrt{e^x+1}}\right)=\frac23\cdot\frac{2e^x(e^x+1)+e^{2x}-2e^x}{2\sqrt{e^x+1}}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}

Dakle, $\int\frac{e^{2x}\,dx}{\sqrt{e^x+1}}=\frac23(e^x-2)\sqrt{e^x+1}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci