6020. Metoda smene promenljive

Uslov je $x^2\neq1 .$ Kod ovog oblika uvodimo $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx ,$ pa je $\int\frac{f'(x)\,dx}{f^\alpha(x)}=\int t^{-\alpha}\,dt=\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}+C$ ; to je formula $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=-\alpha\neq-1$ (videti i zadatak 329.b). Uzimamo $t=x^2-1 ,$ $dt=2x\,dx ,$ $x\,dx=\frac{dt}2 ,$ a $\frac1{\sqrt[3]t}=t^{-\frac13} :$

\int\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\frac12\int t^{-\frac13}\,dt

Za $a=-\frac13$ je $a+1=\frac23 ,$ a deljenje sa $\frac23$ je množenje sa $\frac32 :$

\frac12\int t^{-\frac13}\,dt=\frac12\cdot\frac32\,t^{\frac23}+C=\frac34\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+C

Provera:

\left(\frac34(x^2-1)^{\frac23}\right)'=\frac34\cdot\frac23(x^2-1)^{-\frac13}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}

Rešenje zadatka je $\int\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^2-1}}=\frac34\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

331.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci