6039. Metoda smene promenljive

Uslov je $x\ge1 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Iz $\sqrt{x-1}=t$ (gde je $t\ge0$ ) kvadriranjem dobijamo $x-1=t^2 ,$ pa je:

x=t^2+1,\qquad dx=2t\,dt

Uvrštavamo:

\int x\sqrt{x-1}\,dx=\int(t^2+1)\cdot t\cdot2t\,dt=\int(2t^4+2t^2)\,dt

Po formuli $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C :$

\int(2t^4+2t^2)\,dt=\frac25t^5+\frac23t^3+C

Vraćamo $t=\sqrt{x-1} ,$ tj. $t^5=(x-1)^{\frac52}$ i $t^3=(x-1)^{\frac32} :$

\int x\sqrt{x-1}\,dx=\frac25(x-1)^{\frac52}+\frac23(x-1)^{\frac32}+C

Provera:

\left(\frac25(x-1)^{\frac52}+\frac23(x-1)^{\frac32}\right)'=(x-1)^{\frac32}+(x-1)^{\frac12}=\sqrt{x-1}\,\big((x-1)+1\big)=x\sqrt{x-1}

Traženi integral je $\int x\sqrt{x-1}\,dx=\frac25(x-1)^{\frac52}+\frac23(x-1)^{\frac32}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

333.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci