5967. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo smenu $t=2x-6 .$ Diferenciramo obe strane: $dt=2\,dx ,$ pa je $dx=\frac12\,dt .$ Ovaj faktor $\frac12$ ne smemo zaboraviti:

t=2x-6,\qquad dt=2\,dx\implies dx=\frac{dt}{2}

Konstantu $\frac12$ izvlačimo ispred integrala, a $\int t^5\,dt$ je tablični integral $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ sa $a=5 :$

\int(2x-6)^5\,dx=\frac12\int t^5\,dt=\frac12\cdot\frac{t^6}{6}+C=\frac{t^6}{12}+C

Umesto $t$ vraćamo $2x-6 :$

\int(2x-6)^5\,dx=\frac{(2x-6)^6}{12}+C

Provera: izvod rezultata mora biti podintegralna funkcija. Unutrašnji izvod je $(2x-6)'=2 :$

\left(\frac{(2x-6)^6}{12}\right)'=\frac{6(2x-6)^5\cdot2}{12}=(2x-6)^5

Traženi integral je $\int(2x-6)^5\,dx=\frac1{12}(2x-6)^6+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci