5975. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Koren zapisujemo kao stepen, $\sqrt[3]{2x-1}=(2x-1)^{\frac13} ,$ i uvodimo smenu $t=2x-1 .$ Tada je $dt=2\,dx ,$ odnosno $dx=\frac{dt}2 :$

t=2x-1,\qquad dx=\frac{dt}{2}

Primenjujemo tablični integral $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=\frac13$ ; tada je $a+1=\frac43 ,$ a deljenje sa $\frac43$ je množenje sa $\frac34 :$

\int\sqrt[3]{2x-1}\,dx=\frac12\int t^{\frac13}\,dt=\frac12\cdot\frac34\,t^{\frac43}+C=\frac38\,t^{\frac43}+C

Vraćamo smenu i stepen $t^{\frac43}$ zapisujemo kao koren $\sqrt[3]{t^4} :$

\int\sqrt[3]{2x-1}\,dx=\frac38\sqrt[3]{(2x-1)^4}+C

Provera diferenciranjem (unutrašnji izvod je $2$ ):

\left(\frac38(2x-1)^{\frac43}\right)'=\frac38\cdot\frac43(2x-1)^{\frac13}\cdot2=(2x-1)^{\frac13}=\sqrt[3]{2x-1}

Zaključujemo da je $\int\sqrt[3]{2x-1}\,dx=\frac38\sqrt[3]{(2x-1)^4}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci