5966. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Ovde je pod stepenom izraz $x+5 ,$ pa ga zamenjujemo novom promenljivom $t .$ Pošto je $t=x+5 ,$ diferencijal je $dt=(x+5)'\,dx=dx :$

t=x+5,\qquad dt=dx

Integral postaje tablični. Primenjujemo formulu $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=10 :$

\int(x+5)^{10}\,dx=\int t^{10}\,dt=\frac{t^{11}}{11}+C

Vraćamo smenu, tj. umesto $t$ pišemo $x+5 :$

\int(x+5)^{10}\,dx=\frac{(x+5)^{11}}{11}+C

Po definiciji, $F(x)$ je primitivna funkcija funkcije $f(x)$ ako je $F'(x)=f(x) .$ Provera po pravilu za izvod složene funkcije (unutrašnji izvod je $(x+5)'=1$ ):

\left(\frac{(x+5)^{11}}{11}\right)'=\frac{11(x+5)^{10}\cdot1}{11}=(x+5)^{10}

Dakle, $\int(x+5)^{10}\,dx=\frac{(x+5)^{11}}{11}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci