6024. Metoda smene promenljive

Po zadatku 329.b, smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobijamo $\int f'(x)f^\alpha(x)\,dx=\int t^\alpha\,dt=\frac{f^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C .$ Izvod izraza pod korenom je $(1-6x^5)'=-30x^4 ,$ a u integralu imamo $x^4\,dx .$ Uvodimo $t=1-6x^5 ,$ $dt=-30x^4\,dx ,$ pa je $x^4\,dx=-\frac{dt}{30} :$

\int\sqrt[3]{1-6x^5}\cdot x^4\,dx=-\frac1{30}\int t^{\frac13}\,dt

Za $\alpha=\frac13$ je $\alpha+1=\frac43 :$

-\frac1{30}\int t^{\frac13}\,dt=-\frac1{30}\cdot\frac34\,t^{\frac43}+C=-\frac1{40}(1-6x^5)^{\frac43}+C

Provera:

\left(-\frac1{40}(1-6x^5)^{\frac43}\right)'=-\frac1{40}\cdot\frac43(1-6x^5)^{\frac13}\cdot(-30x^4)=x^4\sqrt[3]{1-6x^5}

Zaključujemo da je $\int\sqrt[3]{1-6x^5}\cdot x^4\,dx=-\frac1{40}(1-6x^5)^{\frac43}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci