6019. Metoda smene promenljive

Kod ovog oblika uvodimo $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx ,$ pa je $\int\frac{f'(x)\,dx}{f^\alpha(x)}=\int t^{-\alpha}\,dt=\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}+C$ ; to je formula $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=-\alpha\neq-1$ (videti i zadatak 329.b). Ovde je $f(x)=1+x^2 ,$ $f'(x)=2x ,$ pa uvodimo $t=1+x^2 ,$ $dt=2x\,dx ,$ odnosno $x\,dx=\frac{dt}2 :$

\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac12\int t^{-\frac12}\,dt

Za $a=-\frac12$ je $a+1=\frac12 :$

\frac12\int t^{-\frac12}\,dt=\frac12\cdot\frac{t^{\frac12}}{\frac12}+C=\sqrt t+C=\sqrt{1+x^2}+C

Provera:

\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Konačno, $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

331.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci