5963. Neodredjeni integrali

Za oba člana koristimo diferencijal linearne funkcije: $dx=\frac15d(5x)$ i $dx=2\,d\left(\frac x2\right) .$ Tablične formule $\int\sin u\,du=-\cos u+C$ i $\int\cos u\,du=\sin u+C$ tada daju:

\int2\sin5x\,dx=\frac25\int\sin5x\,d(5x)=-\frac25\cos5x,\qquad\int3\cos\frac x2\,dx=6\int\cos\frac x2\,d\left(\frac x2\right)=6\sin\frac x2

Po definiciji, $F(x)$ je primitivna funkcija funkcije $f(x)$ ako je $F'(x)=f(x) ,$ pa su sve funkcije sa datim izvodom:

F(x)=-\frac25\cos5x+6\sin\frac x2+C

Uvrštavamo $x=\frac\pi3 .$ Pošto je $\cos\frac{5\pi}3=\cos\left(2\pi-\frac\pi3\right)=\frac12$ i $\sin\frac\pi6=\frac12 :$

F\left(\frac\pi3\right)=-\frac25\cdot\frac12+6\cdot\frac12+C=-\frac15+3+C=\frac{14}5+C=0\implies C=-\frac{14}5

Provera:

F'(x)=-\frac25\cdot(-5\sin5x)+6\cdot\frac12\cos\frac x2=2\sin5x+3\cos\frac x2

Tražena funkcija je $F(x)=6\sin\frac x2-\frac25\cos5x-\frac{14}5 .$

Započni učenje

Privatni časovi

324.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci