5971. Metoda smene promenljive

Koren je definisan za $5x+6\ge0 ,$ tj. $x\ge-\frac65 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uzimamo $t=5x+6$ ; tada je $dt=5\,dx ,$ pa je $dx=\frac{dt}5 :$

t=5x+6,\qquad dx=\frac{dt}{5}

Pišemo $\sqrt t=t^{\frac12}$ i primenjujemo $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=\frac12 :$

\int\sqrt{5x+6}\,dx=\frac15\int t^{\frac12}\,dt=\frac15\cdot\frac{t^{\frac32}}{\frac32}+C=\frac2{15}\,t^{\frac32}+C

Vraćamo $t=5x+6$ i $t^{\frac32}=\sqrt{t^3} :$

\int\sqrt{5x+6}\,dx=\frac2{15}\sqrt{(5x+6)^3}+C

Provera:

\left(\frac2{15}(5x+6)^{\frac32}\right)'=\frac2{15}\cdot\frac32(5x+6)^{\frac12}\cdot5=\sqrt{5x+6}

Konačno, $\int\sqrt{5x+6}\,dx=\frac2{15}\sqrt{(5x+6)^3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci