5999. Metoda smene promenljive

Uslov je $|x|<1 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Pošto je $(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}} ,$ uvodimo $t=\arcsin x ,$ $dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} :$

t=\arcsin x,\qquad dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

Ostaje $\int t^2\,dt ,$ a po formuli $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C :$

\int\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int t^2\,dt=\frac{t^3}3+C=\frac{(\arcsin x)^3}{3}+C

Provera:

\left(\frac{(\arcsin x)^3}3\right)'=\frac{3(\arcsin x)^2}{3}\cdot\frac1{\sqrt{1-x^2}}=\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}

Prema tome, $\int\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\frac{(\arcsin x)^3}{3}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci