5998. Metoda smene promenljive

Logaritmi su definisani za $x>0 ,$ a imenilac je nula za $\ln4x=0 ,$ tj. $x=\frac14 .$ Po pravilu $\ln(uv)=\ln u+\ln v$ rastavljamo logaritme, uz $\ln4=2\ln2 :$

\ln2x=\ln2+\ln x,\qquad\ln4x=\ln4+\ln x=2\ln2+\ln x

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=\ln x$ ; tada je $dt=\frac{dx}x :$

\int\frac{\ln2x\,dx}{x\ln4x}=\int\frac{\ln2+t}{2\ln2+t}\,dt

U brojiocu dodamo i oduzmemo $\ln2 ,$ da bi se pojavio imenilac, pa razlomak rastavimo na dva:

\frac{\ln2+t}{2\ln2+t}=\frac{(t+2\ln2)-\ln2}{t+2\ln2}=1-\frac{\ln2}{t+2\ln2}

Integralimo član po član; za drugi koristimo $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$ sa $u=t+2\ln2 ,$ $du=dt :$

\int\left(1-\frac{\ln2}{t+2\ln2}\right)dt=t-\ln2\cdot\ln|t+2\ln2|+C

Vraćamo $t=\ln x$ ; pri tome je $\ln x+2\ln2=\ln4x :$

\int\frac{\ln2x\,dx}{x\ln4x}=\ln x-\ln2\cdot\ln|\ln x+2\ln2|+C=\ln x-\ln2\cdot\ln|\ln4x|+C

Provera:

\left(\ln x-\ln2\cdot\ln|\ln4x|\right)'=\frac1x-\ln2\cdot\frac{1}{\ln4x}\cdot\frac1x=\frac{\ln4x-\ln2}{x\ln4x}=\frac{\ln2x}{x\ln4x}

Rešenje zadatka je $\int\frac{\ln2x\,dx}{x\ln4x}=\ln x-\ln2\cdot\ln|\ln x+2\ln2|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci