5952. Neodredjeni integrali

Diferencijal linearne funkcije je $d(ax+b)=(ax+b)'\,dx=a\,dx ,$ pa je $dx=\frac1a\,d(ax+b) .$ Tablične formule važe za bilo koju promenljivu, pa i za $u=ax+b .$ Zato integral prevodimo na integral po $u=ax+b :$

\int\frac{dx}{ax+b}=\frac1a\int\frac{d(ax+b)}{ax+b}=\frac1a\int\frac{du}u

Primenjujemo tabličnu formulu $\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$ i vraćamo $u=ax+b$ (za $ax+b\neq0$ ):

\frac1a\ln|u|+C=\frac1a\ln|ax+b|+C

Po definiciji, $F(x)$ je primitivna funkcija funkcije $f(x)$ ako je $F'(x)=f(x) .$ Za $ax+b>0$ proveravamo izvodom složene funkcije:

\left(\frac1a\ln(ax+b)\right)'=\frac1a\cdot\frac{a}{ax+b}=\frac1{ax+b}

Dakle, $\int\frac{dx}{ax+b}=\frac1a\ln|ax+b|+C .$ Primer: za $a=2,\ b=1$ je $\int\frac{dx}{2x+1}=\frac12\ln|2x+1|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

323.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci