5953. Neodredjeni integrali

Brojilac zapisujemo preko imenioca: $ax+b=\frac ac(cx+d)+b-\frac{ad}c .$ Proverom: $\frac ac\cdot cx=ax$ i $\frac ac\cdot d-\frac{ad}c=0 .$ Zato je:

\frac{ax+b}{cx+d}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c}\cdot\frac1{cx+d}

Diferencijal imenioca je $d(cx+d)=c\,dx ,$ pa je, po tabličnoj formuli $\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$ za promenljivu $u=cx+d :$

\int\frac{dx}{cx+d}=\frac1c\int\frac{d(cx+d)}{cx+d}=\frac1c\ln|cx+d|+C

Sabiramo integrale oba člana ( $\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx$ i $\int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$ ):

\int\frac{ax+b}{cx+d}\,dx=\frac acx+\frac{bc-ad}{c^2}\ln|cx+d|+C

Provera za $cx+d>0 :$

\left(\frac acx+\frac{bc-ad}{c^2}\ln(cx+d)\right)'=\frac ac+\frac{bc-ad}{c(cx+d)}=\frac{a(cx+d)+bc-ad}{c(cx+d)}=\frac{ax+b}{cx+d}

Traženi integral je $\frac acx+\frac{bc-ad}{c^2}\ln|cx+d|+C .$

323.b