5958. Neodredjeni integrali

Imenilac je razlika kvadrata, $x^2-a^2=(x-a)(x+a) .$ Razlomak zapisujemo kao razliku dva prostija razlomka; proverom svođenja na zajednički imenilac:

\frac1{x-a}-\frac1{x+a}=\frac{(x+a)-(x-a)}{(x-a)(x+a)}=\frac{2a}{x^2-a^2}\implies\frac1{x^2-a^2}=\frac1{2a}\left(\frac1{x-a}-\frac1{x+a}\right)

Pošto je $d(x\pm a)=dx ,$ formula $\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$ daje $\int\frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|$ i $\int\frac{dx}{x+a}=\ln|x+a| .$ Razliku logaritama pišemo kao logaritam količnika:

\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\left(\ln|x-a|-\ln|x+a|\right)+C=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C

Provera za $x>|a| :$

\left(\frac1{2a}\ln\frac{x-a}{x+a}\right)'=\frac1{2a}\left(\frac1{x-a}-\frac1{x+a}\right)=\frac1{x^2-a^2}

Dakle, za $x\neq\pm a$ je $\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

323.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci