5957. Neodredjeni integrali

Kao kod razlike kvadrata, razlomak zapisujemo kao razliku dva prostija. Svođenjem na zajednički imenilac:

\frac1{x+a}-\frac1{x+b}=\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)}=\frac{b-a}{(x+a)(x+b)}

Zbog $a\neq b$ smemo da delimo sa $b-a :$

\frac1{(x+a)(x+b)}=\frac1{b-a}\left(\frac1{x+a}-\frac1{x+b}\right)

Pošto je $d(x+a)=d(x+b)=dx ,$ po formuli $\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$ dobijamo:

\int\frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\frac1{b-a}\left(\ln|x+a|-\ln|x+b|\right)+C=\frac1{a-b}\ln\left|\frac{x+b}{x+a}\right|+C

Provera (za $x+a>0,\ x+b>0$ ):

\left(\frac1{b-a}\left(\ln(x+a)-\ln(x+b)\right)\right)'=\frac1{b-a}\cdot\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)}=\frac1{(x+a)(x+b)}

Traženi integral je $\frac1{a-b}\ln\left|\frac{x+b}{x+a}\right|+C .$ Uslov $a\neq b$ je potreban: za $a=b$ bi integral bio $\int(x+a)^{-2}dx=-\frac1{x+a}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

323.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci