325.j

Postavi pitanje

Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.

REŠENJE ZADATKA

Funkcija je definisana za $x\neq-1 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=x+1$ ; tada je $dt=dx :$

t=x+1,\qquad dt=dx

Integral je tablični, $\int\frac{dt}t=\ln|t|+C .$ Apsolutna vrednost je potrebna jer $x+1$ može biti i negativno:

\int\frac{dx}{x+1}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|x+1|+C

Provera za $x>-1 :$ $(\ln(x+1))'=\frac1{x+1} .$ Za $x<-1$ je $|x+1|=-(x+1)$ i $(\ln(-(x+1)))'=\frac{-1}{-(x+1)}=\frac1{x+1} ,$ što se slaže sa podintegralnom funkcijom u oba slučaja.