5972. Metoda smene promenljive

Funkcija je definisana kada je $\cos3x\neq0 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uzimamo $t=3x ,$ pa je $dt=3\,dx ,$ tj. $dx=\frac{dt}{3} :$

t=3x,\qquad dx=\frac{dt}3

Primenjujemo tablični integral $\int\frac{dt}{\cos^2t}=\operatorname{tg}t+C :$

\int\frac{dx}{\cos^23x}=\frac13\int\frac{dt}{\cos^2t}=\frac13\operatorname{tg}t+C=\frac13\operatorname{tg}3x+C

Provera: $(\operatorname{tg}3x)'=\frac{3}{\cos^23x} ,$ pa je

\left(\frac13\operatorname{tg}3x\right)'=\frac13\cdot\frac3{\cos^23x}=\frac1{\cos^23x}

Konačno, $\int\frac{dx}{\cos^23x}=\frac13\operatorname{tg}3x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci