5997. Metoda smene promenljive

Funkcija je definisana kada je $\sin x\neq-1 .$ Imenilac pretvaramo u kvadrat kosinusa. Koristimo $\sin x=\cos\left(\frac\pi2-x\right)$ i formulu $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$ (iz $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ ) sa $\alpha=\frac\pi4-\frac x2 :$

1+\sin x=1+\cos\left(\frac\pi2-x\right)=2\cos^2\left(\frac\pi4-\frac x2\right)

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=\frac\pi4-\frac x2$ ; tada je $dt=-\frac12\,dx ,$ tj. $dx=-2\,dt :$

\int\frac{dx}{1+\sin x}=\int\frac{dx}{2\cos^2\left(\frac\pi4-\frac x2\right)}=\int\frac{-2\,dt}{2\cos^2t}=-\int\frac{dt}{\cos^2t}

Tablični integral je $\int\frac{dt}{\cos^2t}=\operatorname{tg}t+C$ ; vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{1+\sin x}=-\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-\frac x2\right)+C

Provera: unutrašnji izvod je $-\frac12 ,$ pa je

\left(-\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-\frac x2\right)\right)'=-\frac{1}{\cos^2\left(\frac\pi4-\frac x2\right)}\cdot\left(-\frac12\right)=\frac{1}{2\cos^2\left(\frac\pi4-\frac x2\right)}=\frac1{1+\sin x}

Brojna provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac1{1+0}=1 ,$ a izvod rezultata je $\frac{1}{2\cos^2\frac\pi4}=\frac{1}{2\cdot\frac12}=1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom. Konačno, $\int\frac{dx}{1+\sin x}=-\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-\frac x2\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci