6109. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}x ,$ pa je $\sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2} ,$ $\cos^2x=\frac1{1+t^2}$ i $dx=\frac{dt}{1+t^2} .$ Tada je $\frac1{\cos^4x}=(1+t^2)^2 :$

\int\frac{dx}{\cos^4x}=\int(1+t^2)^2\cdot\frac{dt}{1+t^2}=\int(1+t^2)\,dt=t+\frac{t^3}3+C

Vraćamo $t=\operatorname{tg}x :$

\int\frac{dx}{\cos^4x}=\operatorname{tg}x+\frac{\operatorname{tg}^3x}3+C

Provera:

\left(\operatorname{tg}x+\frac{\operatorname{tg}^3x}{3}\right)'=\frac{1}{\cos^2x}\left(1+\operatorname{tg}^2x\right)=\frac1{\cos^2x}\cdot\frac1{\cos^2x}=\frac1{\cos^4x}

Rešenje zadatka je $\int\frac{dx}{\cos^4x}=\frac{\operatorname{tg}^3x}{3}+\operatorname{tg}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

343.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci