6078. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $|x|<1 .$ Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $z=\arcsin x ,$ tj. $x=\sin z ,$ $z\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) .$ Tada je $dx=\cos z\,dz$ i $\sqrt{1-x^2}=\cos z$ (jer je $\cos z>0$ ):

\int\frac{\arcsin x\,dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}=\int\frac{z\cos z\,dz}{\cos^3z}=\int\frac{z\,dz}{\cos^2z}

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Ovaj integral rešen je u zadatku 334.n ( $u=z ,$ $dv=\frac{dz}{\cos^2z} ,$ $v=\operatorname{tg}z$ ):

\int\frac{z\,dz}{\cos^2z}=z\operatorname{tg}z+\ln|\cos z|+C

Vraćamo: $\cos z=\sqrt{1-x^2} ,$ $\operatorname{tg}z=\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} ,$ a $\ln\sqrt{1-x^2}=\frac12\ln(1-x^2) :$

\int\frac{\arcsin x\,dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}=\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac12\ln(1-x^2)+C

Brojna provera za $x=0{,}5 :$ podintegralna funkcija je $\frac{\pi/6}{0{,}75^{3/2}}\approx0{,}8061 ,$ a numerički izvod rezultata u toj tački je takođe $\approx0{,}8061 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Zaključujemo da je $\int\frac{\arcsin x\,dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}=\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac12\ln(1-x^2)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

338.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci