6074. Metoda parcijalne integracije

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $s=\sqrt[3]x ,$ tj. $x=s^3 ,$ $dx=3s^2\,ds :$

\int\sin\sqrt[3]x\,dx=3\int s^2\sin s\,ds

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Za $\int s^2\sin s\,ds$ uzimamo $u=s^2 ,$ $dv=\sin s\,ds ,$ $du=2s\,ds ,$ $v=-\cos s :$

\int s^2\sin s\,ds=-s^2\cos s+2\int s\cos s\,ds

Po zadatku 334.b je $\int s\cos s\,ds=s\sin s+\cos s :$

\int s^2\sin s\,ds=-s^2\cos s+2s\sin s+2\cos s+C

Množimo sa $3$ i vraćamo $s=\sqrt[3]x ,$ $s^2=\sqrt[3]{x^2} :$

\int\sin\sqrt[3]x\,dx=3\left[\left(2-\sqrt[3]{x^2}\right)\cos\sqrt[3]x+2\sqrt[3]x\sin\sqrt[3]x\right]+C

Provera preko $s :$ $\left(-s^2\cos s+2s\sin s+2\cos s\right)'=-2s\cos s+s^2\sin s+2\sin s+2s\cos s-2\sin s=s^2\sin s ,$ a $3s^2\sin s\cdot\frac{ds}{dx}=3s^2\sin s\cdot\frac{1}{3s^2}=\sin s ,$ što se slaže sa podintegralnom funkcijom.

Traženi integral je $\int\sin\sqrt[3]x\,dx=3\left[\left(2-\sqrt[3]{x^2}\right)\cos\sqrt[3]x+2\sqrt[3]x\sin\sqrt[3]x\right]+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

338.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci