6073. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x\ge0 .$ Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Prvo se oslobađamo korena smenom $s=\sqrt x ,$ tj. $x=s^2 ,$ $dx=2s\,ds :$

\int e^{\sqrt x}\,dx=\int e^s\cdot2s\,ds=2\int se^s\,ds

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Integral $\int se^s\,ds$ rešavamo kao u 334.g ( $u=s ,$ $dv=e^s\,ds$ ):

2\int se^s\,ds=2\left(se^s-\int e^s\,ds\right)=2e^s(s-1)+C

Vraćamo $s=\sqrt x :$

\int e^{\sqrt x}\,dx=2e^{\sqrt x}\left(\sqrt x-1\right)+C

Provera, uz $\left(e^{\sqrt x}\right)'=\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x} :$

2\cdot\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}(\sqrt x-1)+2e^{\sqrt x}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{e^{\sqrt x}\left((\sqrt x-1)+1\right)}{\sqrt x}=e^{\sqrt x}

Dakle, $\int e^{\sqrt x}\,dx=2e^{\sqrt x}(\sqrt x-1)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

338.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci