6052. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $|x|\le1 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Izvod je $(\arccos x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ; pazimo na znak minus:

u=\arccos x,\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\quad v=x

Uvrštavamo; dva minusa daju plus:

\int\arccos x\,dx=x\arccos x+\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}

Kao u 334.j, $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\sqrt{1-x^2}$ (smena $s=1-x^2$ ):

\int\arccos x\,dx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C

Provera:

\left(x\arccos x-\sqrt{1-x^2}\right)'=\arccos x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arccos x

Dakle, $\int\arccos x\,dx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.l

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci