6067. Metoda parcijalne integracije

Zadatak je uopštenje zadatka 336.v. Prvo nam treba $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$ za $a\neq0 .$ Tablica ga daje za $a=1$ i $a=-1 ,$ a ista formula $\ln|x+\sqrt{x^2+a}|$ važi za svako $a\neq0 ,$ što proveravamo diferenciranjem:

\left(\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\right)'=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{x+\sqrt{x^2+a}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+a}+x}{\sqrt{x^2+a}}}{x+\sqrt{x^2+a}}=\frac1{\sqrt{x^2+a}}

Neka je $I=\int\sqrt{x^2+a}\,dx .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Sa $u=\sqrt{x^2+a} ,$ $dv=dx$ je $du=\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+a}} ,$ $v=x ,$ a u brojiocu pišemo $x^2=(x^2+a)-a :$

I=x\sqrt{x^2+a}-\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{x^2+a}}=x\sqrt{x^2+a}-I+a\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}

Rešavamo jednačinu po $I :$

2I=x\sqrt{x^2+a}+a\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\implies I=\frac x2\sqrt{x^2+a}+\frac a2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|+C

Za $a=1$ dobijamo rezultat zadatka 336.v. Za $a=0$ integral je $\int|x|\,dx=\frac{x|x|}{2}+C$ i formula tada daje isto za $x>0 .$ Provera za $a\neq0 :$

\frac12\sqrt{x^2+a}+\frac{x^2}{2\sqrt{x^2+a}}+\frac{a}{2\sqrt{x^2+a}}=\frac{(x^2+a)+x^2+a}{2\sqrt{x^2+a}}=\sqrt{x^2+a}

Traženi integral je $\int\sqrt{x^2+a}\,dx=\frac x2\sqrt{x^2+a}+\frac a2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

336.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci