6049. Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Kao kod $\int\ln x\,dx ,$ logaritam uzimamo za $u ,$ a $dv=dx .$ Izvod je $\left(\ln(x^2+1)\right)'=\frac{2x}{x^2+1} :$

u=\ln(x^2+1),\quad dv=dx\qquad\implies\qquad du=\frac{2x\,dx}{x^2+1},\quad v=x

Uvrštavamo:

\int\ln(x^2+1)\,dx=x\ln(x^2+1)-\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx

Razlomak rastavljamo kao u 334.ž: $\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac1{x^2+1} .$ Tablično je $\int\frac{dx}{1+x^2}=\operatorname{arctg}x+C :$

\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx=2\int\left(1-\frac1{x^2+1}\right)dx=2x-2\operatorname{arctg}x+C

Dakle:

\int\ln(x^2+1)\,dx=x\ln(x^2+1)-2x+2\operatorname{arctg}x+C

Provera:

\left(x\ln(x^2+1)-2x+2\operatorname{arctg}x\right)'=\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}-2+\frac{2}{x^2+1}=\ln(x^2+1)

Konačno, $\int\ln(x^2+1)\,dx=x\ln(x^2+1)-2x+2\operatorname{arctg}x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.i

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci