6000. Metoda smene promenljive

Koren je definisan za $\ln x\ge0 ,$ tj. $x\ge1 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Pošto je $(\ln x)'=\frac1x ,$ izraz $\frac{dx}x$ je diferencijal od $\ln x .$ Uvodimo $t=\ln x ,$ $dt=\frac{dx}{x} :$

t=\ln x,\qquad dt=\frac{dx}{x}

Primenjujemo $\int t^a\,dt=\frac{t^{a+1}}{a+1}+C$ za $a=\frac12 :$

\int\frac{\sqrt{\ln x}\,dx}{x}=\int t^{\frac12}\,dt=\frac23\,t^{\frac32}+C=\frac23(\ln x)^{\frac32}+C

Provera:

\left(\frac23(\ln x)^{\frac32}\right)'=\frac23\cdot\frac32(\ln x)^{\frac12}\cdot\frac1x=\frac{\sqrt{\ln x}}{x}

Zaključujemo da je $\int\frac{\sqrt{\ln x}\,dx}{x}=\frac23\sqrt{\ln^3x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci