6001. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Izvod imenioca je $(x^{n+1}+1)'=(n+1)x^n ,$ što je (do na konstantu) brojilac. Zato uvodimo $t=x^{n+1}+1 ,$ pa je $dt=(n+1)x^n\,dx .$ Pošto je $n\in\mathbb{N} ,$ broj $n+1$ je pozitivan, pa smemo da delimo sa $n+1 :$

t=x^{n+1}+1,\qquad x^n\,dx=\frac{dt}{n+1}

Primenjujemo $\int\frac{dt}t=\ln|t|+C :$

\int\frac{x^n\,dx}{x^{n+1}+1}=\frac1{n+1}\int\frac{dt}{t}=\frac1{n+1}\ln|x^{n+1}+1|+C

Provera, npr. za $n=2 :$ $\left(\frac13\ln|x^3+1|\right)'=\frac13\cdot\frac{3x^2}{x^3+1}=\frac{x^2}{x^3+1} .$ U opštem slučaju:

\left(\frac1{n+1}\ln|x^{n+1}+1|\right)'=\frac1{n+1}\cdot\frac{(n+1)x^n}{x^{n+1}+1}=\frac{x^n}{x^{n+1}+1}

Traženi integral je $\int\frac{x^n\,dx}{x^{n+1}+1}=\frac{1}{n+1}\ln|x^{n+1}+1|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

328.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci