6031. Metoda smene promenljive

Uslov je $\cos x^2\neq0 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=x^2 ,$ $dt=2x\,dx ,$ tj. $x\,dx=\frac{dt}{2} :$

\int\frac{x\,dx}{\cos^2x^2}=\frac12\int\frac{dt}{\cos^2t}

Tablični integral $\int\frac{dt}{\cos^2t}=\operatorname{tg}t+C$ daje:

\frac12\int\frac{dt}{\cos^2t}=\frac12\operatorname{tg}t+C=\frac12\operatorname{tg}x^2+C

Provera:

\left(\frac12\operatorname{tg}x^2\right)'=\frac12\cdot\frac{1}{\cos^2x^2}\cdot2x=\frac{x}{\cos^2x^2}

Dakle, $\int\frac{x\,dx}{\cos^2x^2}=\frac12\operatorname{tg}x^2+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

332.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci