6035. Metoda smene promenljive

Uslov je $x\ge-1 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Iz date smene $\sqrt{x+1}=z$ (pri čemu je $z\ge0$ ) izražavamo $x :$ kvadriramo, $x+1=z^2 ,$ pa je $x=z^2-1 .$ Diferenciramo:

x=z^2-1,\qquad dx=2z\,dz

Uvrštavamo:

\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}=\int\frac{2z\,dz}{1+z}

U brojiocu dodamo i oduzmemo $1 ,$ pa razlomak rastavimo: $\frac{z}{1+z}=\frac{(1+z)-1}{1+z}=1-\frac1{1+z} :$

\int\frac{2z\,dz}{1+z}=2\int\left(1-\frac{1}{1+z}\right)dz

Integral $\int\frac{dz}{1+z}$ rešavamo kao u zadatku 325.j: $\ln|1+z| .$ Pošto je $z\ge0 ,$ $1+z>0$ i apsolutna vrednost nije potrebna:

2\int\left(1-\frac{1}{1+z}\right)dz=2z-2\ln(1+z)+C

Vraćamo $z=\sqrt{x+1} :$

\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}=2\left(\sqrt{x+1}-\ln\left(1+\sqrt{x+1}\right)\right)+C

Provera, uz $(\sqrt{x+1})'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} :$

2\left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}\cdot\frac1{2\sqrt{x+1}}\right)=\frac1{\sqrt{x+1}}\cdot\frac{\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}=\frac1{1+\sqrt{x+1}}

Traženi integral je $\int\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}=2\left(\sqrt{x+1}-\ln(1+\sqrt{x+1})\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

333.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci