6037. Metoda smene promenljive

Uslovi: $x\neq0$ i $xe^x\neq-1 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Diferenciramo smenu $z=xe^x$ pravilom za izvod proizvoda:

dz=(e^x+xe^x)\,dx=(x+1)e^x\,dx

Da bi se pojavio $dz ,$ brojilac i imenilac množimo sa $e^x :$

\int\frac{(x+1)\,dx}{x(1+xe^x)}=\int\frac{(x+1)e^x\,dx}{xe^x(1+xe^x)}=\int\frac{dz}{z(1+z)}

Razlomak rastavljamo na dva: u brojiocu je $1=(1+z)-z ,$ pa je

\frac{1}{z(1+z)}=\frac{(1+z)-z}{z(1+z)}=\frac1z-\frac1{1+z}

Integralimo po formuli $\int\frac{du}u=\ln|u|+C ,$ a razliku logaritama zapisujemo kao logaritam količnika:

\int\left(\frac1z-\frac1{1+z}\right)dz=\ln|z|-\ln|1+z|+C=\ln\left|\frac{z}{1+z}\right|+C

Vraćamo $z=xe^x :$

\int\frac{(x+1)\,dx}{x(1+xe^x)}=\ln\left|\frac{xe^x}{1+xe^x}\right|+C

Provera: $\left(\ln|xe^x|-\ln|1+xe^x|\right)'=\frac{(x+1)e^x}{xe^x}-\frac{(x+1)e^x}{1+xe^x} ,$ pa je

=(x+1)e^x\cdot\frac{(1+xe^x)-xe^x}{xe^x(1+xe^x)}=\frac{x+1}{x(1+xe^x)}

Prema tome, $\int\frac{(x+1)\,dx}{x(1+xe^x)}=\ln\left|\frac{xe^x}{1+xe^x}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

333.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci