333.b

Uslovi: $x>0$ i $\sqrt x\neq\sqrt[3]x ,$ tj. $x\neq1 .$ Smena $x=z^6$ (sa $z>0$) bira se zato što je $6$ najmanji zajednički sadržalac izložilaca korena $2$ i $3 ,$ pa oba korena postaju stepeni:

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvrštavamo i skraćujemo $z^2 :$

Delimo polinom $z^6$ sa $z-1 .$ Koristimo $z^6-1=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) ,$ pa je $z^6=(z-1)(z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)+1 :$

Integralimo član po član, formulom $\int z^a\,dz=\frac{z^{a+1}}{a+1}+C$ i (za poslednji član) $\int\frac{dz}{z-1}=\ln|z-1|+C :$

Vraćamo $z=\sqrt[6]x :$ $z^6=x ,$ $z^5=\sqrt[6]{x^5} ,$ $z^4=\sqrt[3]{x^2} ,$ $z^3=\sqrt x ,$ $z^2=\sqrt[3]x :$

Provera preko $z :$ izvod rezultata po $z$ je $6z^5+6z^4+6z^3+6z^2+6z+6+\frac{6}{z-1}=\frac{6z^6}{z-1} ,$ a deljenjem sa $\frac{dx}{dz}=6z^5$ dobijamo izvod po $x :$