6004. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Ovde je brojilac izvod imenioca. Uvodimo $t=f(x)$ ; tada je $dt=f'(x)\,dx :$

t=f(x),\qquad dt=f'(x)\,dx

Integral postaje tablični, $\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C :$

\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|f(x)|+C

Provera (za $f(x)>0$ ; za $f(x)<0$ je isto kao kod $\ln|x|$ ):

\left(\ln f(x)\right)'=\frac1{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}

Primer: za $f(x)=x^2+1$ dobijamo $\int\frac{2x\,dx}{x^2+1}=\ln(x^2+1)+C .$ Pravilo: ako je brojilac izvod imenioca, integral je logaritam apsolutne vrednosti imenioca. Dakle, $\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\ln|f(x)|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

329.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci