6011. Metoda smene promenljive

Koristimo rezultat zadatka 329.a: smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobija se $\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{t}=\ln|f(x)|+C .$ Izvod imenioca je $(x^3-2x)'=3x^2-2 ,$ tj. brojilac. Uvodimo $t=x^3-2x ,$ $dt=(3x^2-2)\,dx :$

\int\frac{3x^2-2}{x^3-2x}\,dx=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C

Imenilac $x^3-2x=x(x^2-2)$ menja znak (npr. za $x=1$ je $-1 ,$ a za $x=2$ je $4$ ), pa apsolutna vrednost ostaje:

\int\frac{3x^2-2}{x^3-2x}\,dx=\ln|x^3-2x|+C

Provera (za $x^3-2x>0$ ; drugi slučaj je isti kao kod $\ln|x|$ ):

\left(\ln(x^3-2x)\right)'=\frac{3x^2-2}{x^3-2x}

Prema tome, $\int\frac{3x^2-2}{x^3-2x}\,dx=\ln|x^3-2x|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

330.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci