6013. Metoda smene promenljive

Uslov je $e^{2x}\neq1 ,$ tj. $x\neq0 .$ Izvod imenioca je $(e^{2x}-1)'=2e^{2x} ,$ pa množimo i delimo sa $2 :$

\int\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}\,dx=\frac12\int\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}\,dx

Koristimo rezultat zadatka 329.a: smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobija se $\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{t}=\ln|f(x)|+C .$ Sa $t=e^{2x}-1 ,$ $dt=2e^{2x}\,dx :$

\frac12\int\frac{dt}{t}=\frac12\ln|e^{2x}-1|+C

Za $x<0$ je $e^{2x}<1 ,$ pa je imenilac negativan; zato apsolutna vrednost ostaje. Provera:

\left(\frac12\ln|e^{2x}-1|\right)'=\frac12\cdot\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}=\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}

Dakle, $\int\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}\,dx=\frac12\ln|e^{2x}-1|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

330.j

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci