6006. Metoda smene promenljive

Koristimo rezultat zadatka 329.a: smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobija se $\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{t}=\ln|f(x)|+C .$ Izvod imenioca je $(1+x^2)'=2x ,$ a u brojiocu je samo $x .$ Zato brojilac i imenilac množimo i delimo sa $2 :$

\int\frac{x}{1+x^2}\,dx=\frac12\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx

Uz smenu $t=1+x^2 ,$ $dt=2x\,dx :$

\frac12\int\frac{dt}{t}=\frac12\ln|t|+C=\frac12\ln(1+x^2)+C

Apsolutnu vrednost smo izostavili jer je $1+x^2>0$ za svako $x .$ Provera:

\left(\frac12\ln(1+x^2)\right)'=\frac12\cdot\frac{2x}{1+x^2}=\frac{x}{1+x^2}

Zaključujemo da je $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx=\frac12\ln(1+x^2)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

330.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci