6014. Metoda smene promenljive

Uslov je $\sin x\neq0 .$ Da bismo dobili oblik $\frac{f'(x)}{f(x)} ,$ koristimo formulu dvostrukog ugla $\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2$ i proširujemo sa $\cos\frac x2 :$

\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2=2\cdot\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}\cdot\cos^2\frac x2=2\operatorname{tg}\frac x2\cos^2\frac x2

Zato je

\frac{1}{\sin x}=\frac{\dfrac{1}{2\cos^2\frac x2}}{\operatorname{tg}\frac x2}

Brojilac je izvod imenioca, jer je $\left(\operatorname{tg}\frac x2\right)'=\frac1{\cos^2\frac x2}\cdot\frac12 .$ Koristimo rezultat zadatka 329.a: smenom $t=f(x) ,$ $dt=f'(x)\,dx$ dobija se $\int\frac{f'(x)\,dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{t}=\ln|f(x)|+C .$ Uzimamo $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$

\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln\left|\operatorname{tg}\frac x2\right|+C

Brojna provera za $x=\frac\pi2 :$ podintegralna funkcija je $\frac1{\sin\frac\pi2}=1 ,$ a izvod rezultata je $\frac{1}{2\cos^2\frac\pi4\operatorname{tg}\frac\pi4}=\frac{1}{2\cdot\frac12\cdot1}=1 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Traženi integral je $\int\frac{dx}{\sin x}=\ln\left|\operatorname{tg}\frac x2\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

330.k

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci